无约束优化中，我们习惯先令导数或梯度为零，再判断得到的点是不是极小值。但有了约束，最优点可能恰好位于边界，目标函数的梯度并不为零：它仍然指向某个下降方向，只是那个方向不允许走。

拉格朗日乘数法处理等式约束；KKT（Karush–Kuhn–Tucker）条件把这一思路推广到同时含有等式与不等式约束的问题。理解它的关键，是弄清楚哪些约束在最优点真正限制了移动，以及这些限制如何与目标函数的梯度平衡。以下默认目标函数和约束函数连续可微，变量为连续变量。优化问题的分类与常见求解方法可先参阅优化理论概览。