Wilcoxon Signed-Rank Test（威尔科克森符号秩检验）

1. 适用场景

Wilcoxon Signed-Rank Test 用于比较两个相关算法/模型在多次实验（如多个实例）上的性能是否存在显著差异。

适用条件：

• 数据是成对的（如算法 A 与算法 B 在同一个实例上的值）
• 不要求数据服从正态分布（非参数方法）
• 检验差值的符号与秩是否有系统性偏向

非常适合用于两个优化算法的性能对比。

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2. 基本思想

该检验检查两组成对数据差值的：

• 方向性（正负）
• 差异大小的排序（绝对值秩）

如果一个算法始终优于另一个算法，则所有差值的符号会保持一致 → 产生显著的统计偏向。

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3. 操作步骤

Step 1：计算成对差值

对于每个实例 i：

$$d_i = A_i - B_i$$

Step 2：删除差值为 0 的项

因为 0 表示两个算法相同，没有信息贡献。

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Step 3：对 $|d_i|$ 按大小排序（赋秩 rank）

秩反映差值大小的重要性。

若出现相同 $|d_i|$，采用平均秩。

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Step 4：根据原始差值的正负，将秩分配到 R+ 或 R−

• 如果 $d_i > 0$，则该 rank 属于正秩 $R^+$
• 如果 $d_i < 0$，则属于负秩 $R^-$

$R^+$ 与 $R^-$ 分别对应“支持 A 优于 B”与“支持 B 优于 A”的力度。

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Step 5：计算统计量 W

$$W = \min(R^+, R^-)$$

W 越小，差异越显著。

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Step 6：查表或计算 p 值

若：

$$p < 0.05$$

则：

差异显著，两算法性能不是随机差异，而是真实差距。

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4. 结果解读

• $R^+ >> R^-$ 且 $p < 0.05$ ⇒ A 显著优于 B
• $R^- >> R^+$ 且 $p < 0.05$ ⇒ B 显著优于 A
• $p ≥ 0.05$ ⇒ 差异不显著

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5. Wilcoxon 的优点

• 非参数检验，不需要正态分布
• 对成对算法性能对比非常适合
• 兼顾差值大小与方向，更严谨
• 在优化算法对比研究中是标准方法之一

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6. 在多目标优化中的意义

在算法性能具有随机性的情况下，Wilcoxon 用于判断：

某算法对另一算法的优势是否为真实规律，而非随机波动导致。