封闭形式表达式与非封闭形式表达式

Goat_Yang2025/11/30约 1001 字大约 3 分钟

1. 什么是封闭形式表达式（Closed-form Expression）

封闭形式表达式指的是一个数学量可以用有限个常见的数学运算和函数直接表示出来的表达式。

一般允许使用的元素包括：

基本运算：加、减、乘、除、幂（ $+$ 、 $-$ 、 $\times$ 、 $\div$ 、幂运算）
常见函数：指数函数（ $e^x$ ）、对数函数（ $\ln x$ ）、三角函数（ $\sin x,\cos x,\tan x$ ）、反三角函数（ $\arcsin x$ 等）、幂函数（ $x^a$ ）、根式等
常数： $e$ 、 $\pi$ 、有理数、代数数等

非正式理解

如果一个量能用一条“普通公式”写出来，不用无限级数、无限迭代、递归或数值方法，就可以称为有封闭形式。

不定积分：
$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$
右边可以直接用幂函数表示，是封闭表达式。
一元二次方程的根：
$ax^2 + bx + c = 0$
的根为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
这是一个典型的封闭形式解。
和式：
$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
右边是封闭形式，避免了逐项相加。

非封闭形式表达式指的是：一个数学量无法仅用有限个常见运算和初等函数表示，需要借助以下方式之一：

积分：

\int e^{-x^2}\,dx

这个积分不能用有限个初等函数表示。
通常，我们通过引入误差函数 $\operatorname{erf}(x)$ 来定义它的一个相关形式：

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt

从某种意义上说， $\operatorname{erf}(x)$ 本身就是一个非封闭形式的特殊函数，专门用来描述这类积分。

许多高于四次的代数方程的解，不能用有限个加减乘除和开方来表示（阿贝尔–鲁菲尼定理相关）。这些根往往：

例如：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

右边其实是一个封闭形式（ $\frac{\pi^2}{6}$ ），
但很多级数并不存在已知的封闭形式和：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}

虽然有特殊常数来表示（阿佩里常数），但是否能用“初等函数”写出封闭形式是一个更微妙的问题。
通常这类求和被视作没有初等的封闭形式。

判断一个表达式是否有封闭形式，核心在于：

允许使用哪些函数作为“基本积木”？
- 如果只允许初等函数，那么很多东西没有封闭形式；
- 如果允许更多特殊函数（如 $\Gamma$ 函数、贝塞尔函数等），一些原本“无封闭形式”的表达式又可以写成具体形式。
是否允许无限过程？
- 真正的封闭形式要求用有限步写完公式；
- 一旦用了无限和、无限乘积或极限，本质上就脱离了严格的“封闭形式”定义。