一致估计量（Consistent Estimator）

1. 直观理解

一致估计量指的是：
当样本量不断增大时，估计量会越来越接近真实参数值。

换句话说：

更多数据 → 更准。

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2. 数学定义

设

• 参数为 $\theta$
• 样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$
• 估计量为 $\hat\theta_n$

如果

$$\hat\theta_n \xrightarrow{p} \theta$$

即：随着 $n\to\infty$，估计量依概率收敛到真实值 $\theta$，
则称 $\hat\theta_n$ 为 一致估计量。

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3. 例子

（1）样本均值是总体均值的⼀致估计量

根据弱大数定律：

$$\bar{X} \xrightarrow{p} \mu$$

（2）样本方差是总体方差的一致估计量

包括有偏与无偏版本，都满足一致性。

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4. 与无偏估计的区别

概念	描述
无偏估计量	$\mathbb{E}[\hat\theta] = \theta$
一致估计量	$\hat\theta_n \xrightarrow{p} \theta$ 随样本增大收敛

可一致但有偏：
例如总体方差的有偏估计

$$\hat\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum (X_i - \bar X)^2$$

是有偏的，但它依然是一致估计量。

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5. 小结

• 一致性强调“大样本极限表现”，无偏性强调“期望值是否正确”。
• 实际统计中，一致性往往比无偏性更重要。