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小波分析基础：从傅里叶变换到 CWT 与 DWT

Goat_Yang2026/9/2数学基础小波分析信号处理时频分析CWTDWT约 2683 字大约 9 分钟

小波分析基础：从傅里叶变换到 CWT 与 DWT

小波分析（Wavelet Analysis）用于分析非平稳信号、瞬态信号和局部变化特征。它把一个具有局部性的波形不断缩放、平移，并在不同时间位置和尺度上与信号匹配，从而回答“什么时候出现了什么样的局部频率特征”。

一、为什么有傅里叶变换还需要小波

对信号 x(t)x(t)，傅里叶变换为：

X(f)=∫−∞+∞x(t)e−j2πft dtX(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt

它主要回答“信号包含哪些频率成分”。例如：

x(t)=sin⁡(2π10t)+0.5sin⁡(2π50t)x(t)=\sin(2\pi10t)+0.5\sin(2\pi50t)

可以在频谱中看到 10 Hz10\ \text{Hz} 与 50 Hz50\ \text{Hz}。但若信号分段变化：

x(t)={sin⁡(2π10t),0<t<1sin⁡(2π50t),1<t<2x(t)= \begin{cases} \sin(2\pi10t), & 0<t<1\\ \sin(2\pi50t), & 1<t<2 \end{cases}

傅里叶变换仍会显示两个频率，却不告诉我们它们各在何时出现。因此，它有良好的频率分辨能力，却没有时间定位能力。

二、从傅里叶变换到 STFT

短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）把信号乘以随时间移动的窗口：

STFT⁡x(τ,f)=∫x(t)w(t−τ)e−j2πft dt\operatorname{STFT}_x(\tau,f)=\int x(t)w(t-\tau)e^{-j2\pi ft}\,dt

其中 w(t−τ)w(t-\tau) 是位于 τ\tau 附近的窗口函数。STFT 因而能描述时间和频率，例如判断某个 50 Hz50\ \text{Hz} 成分是否在 1.2 s1.2\ \text{s} 附近出现。

它的局限也很明确：窗口长度固定。高频周期短，通常希望短窗口以提升时间定位；低频周期长，通常希望长窗口以提升频率分辨。固定窗口无法同时适配这两类需求。

三、小波分析的核心思想

小波不使用固定大小的分析窗口，而是让窗口随尺度变化：

高频使用短窗口，低频使用长窗口\boxed{\text{高频使用短窗口，低频使用长窗口}}

也就是说，高频侧优先时间分辨率，低频侧优先频率分辨率。这种按尺度组织信息的思路称为多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）。小波没有突破时间—频率不确定性约束，而是以更适合信号特征的方式分配这种分辨能力。

四、什么是“小波”

普通正弦波 sin⁡(ωt)\sin(\omega t) 理论上无限延伸；小波则集中在有限的时间邻域内，同时具有振荡性和时间局部性。以 Morlet 小波为例，可粗略写为：

ψ(t)=e−t22ejω0t\psi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}e^{j\omega_0t}

即“振荡波形 × 局部包络”。这使它适合描述瞬态冲击、局部振荡、突变等非平稳特征。

五、母小波、尺度和平移

选定的基本小波函数 ψ(t)\psi(t) 称为母小波（Mother Wavelet）。主要对它做两种操作：

  • 平移：ψ(t−b)\psi(t-b)。bb 是时间位置；将模板移动到信号不同位置以寻找局部特征。
  • 缩放：ψ(t/a)\psi(t/a)。aa 是尺度；aa 越小，小波越压缩、振荡越快，通常对应高频；aa 越大，小波越拉长，通常对应低频。

因此有近似关系：

f∝1af\propto\frac{1}{a}

六、连续小波变换 CWT

一种常见的连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）归一化写法为：

W(a,b)=1∣a∣∫−∞+∞x(t)ψ∗(t−ba)dtW(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right)dt

其中 x(t)x(t) 为原始信号，ψ(t)\psi(t) 为母小波，aa 为尺度，bb 为时间位置，ψ∗\psi^* 为复共轭，W(a,b)W(a,b) 为小波系数。不同资料也会因归一化约定使用 1/a1/a；核心含义不变：它衡量信号与某个缩放、平移后小波的匹配程度。

CWT 如何“匹配”

可把 CWT 直观地看作内积：

W(a,b)=⟨x,ψa,b⟩\boxed{W(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle}

离散地说，就是对齐、逐点相乘、再求和。若

x=[1,2,1,−1,−2,−1],ψ=[1,2,1,−1,−2,−1]x=[1,2,1,-1,-2,-1],\qquad \psi=[1,2,1,-1,-2,-1]

则内积为 1212，表示结构高度匹配；若正负项相互抵消，W(a,b)≈0W(a,b)\approx0，则匹配较弱。

CWT 不是寻找一个“最佳小波”

CWT 用同一个母小波的不同尺度和位置，计算整个时间—尺度平面的匹配强度；它不是选出一个小波来替代原信号。

七、尺度为何可对应频率

若母小波主要振荡频率为 f0f_0，缩放后有：

cos⁡(2πf0ta)=cos⁡(2πf0at)\cos\left(2\pi f_0\frac{t}{a}\right)=\cos\left(2\pi\frac{f_0}{a}t\right)

所以频率随 aa 的增大而降低。在采样间隔为 Δt\Delta t 的实际计算中，常将尺度换算为伪频率：

fa=fcaΔt=fcfsaf_a=\frac{f_c}{a\Delta t}=\frac{f_cf_s}{a}

其中 fcf_c 是母小波中心频率，fs=1/Δtf_s=1/\Delta t 是采样频率。之所以称为“伪频率”，是因为小波覆盖一定频带，而非理想单频正弦波。

尺度不等于频率

CWT 直接改变的是尺度 aa。尺度与频率通常呈反比，但它们的换算依赖所选母小波及采样间隔。

八、CWT 时频图与瞬态特征

对尺度 a1,…,ama_1,\ldots,a_m 和时间位置 b1,…,bnb_1,\ldots,b_n 分别计算系数，可得到二维矩阵：

W=[W(a1,b1)⋯W(a1,bn)⋮⋱⋮W(am,b1)⋯W(am,bn)]W=\begin{bmatrix} W(a_1,b_1)&\cdots&W(a_1,b_n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ W(a_m,b_1)&\cdots&W(a_m,b_n) \end{bmatrix}

绘制 ∣W(a,b)∣|W(a,b)| 或 ∣W(a,b)∣2|W(a,b)|^2，就是常见的 scalogram（小波时频图）。若 t=1.2 st=1.2\ \text{s}、约 80 Hz80\ \text{Hz} 的区域颜色很亮，表示该处有较强的对应局部特征。

短时冲击会包含丰富的高频成分，因此常在时频图中呈现为时间上集中的高频能量。小波分析常用于机械振动与故障诊断、地震、生物医学、雷达和通信中的非平稳信号。

九、为什么还需要离散小波变换 DWT

CWT 要扫描大量 (a,b)(a,b) 组合，结果冗余、计算量较大。离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）只在规则的离散尺度和位置上采样；经典正交 DWT 常使用二进尺度 a=2ja=2^j。

工程实现通常采用 Mallat 滤波器组：

                    ┌── 低通滤波 ── ↓2 ── A₁
原始信号 x[n] ──────┤
                    └── 高通滤波 ── ↓2 ── D₁
  • A1A_1 是近似系数（Approximation Coefficients），表示较低频的整体趋势。
  • D1D_1 是细节系数（Detail Coefficients），表示较高频的快速变化和局部细节。
  • ↓2\downarrow2 表示二倍下采样。

随后只继续分解低频支路：

x
├── D₁
└── A₁
    ├── D₂
    └── A₂
        ├── D₃
        └── A₃

因此 xx 可按层写为：

x→AJ+DJ+DJ−1+⋯+D1x\rightarrow A_J+D_J+D_{J-1}+\cdots+D_1

十、DWT 的频带如何理解

若采样频率 fs=1000 Hzf_s=1000\ \text{Hz}，奈奎斯特频率为 500 Hz500\ \text{Hz}。在理想二叉滤波器组的近似下：

系数对应频带（Hz）
D1D_1250∼500250\sim500
D2D_2125∼250125\sim250
D3D_362.5∼12562.5\sim125
A3A_30∼62.50\sim62.5

频带是理想化理解

真实小波滤波器不是理想砖墙滤波器；不同小波、边界延拓方法和滤波器响应都会带来过渡带。因此这些频段适合建立直觉，不能替代实际频率响应分析。

十一、为什么滤波后要下采样

一层滤波后，有效频带约缩小一半，因此可以二倍下采样而不必保留原始采样率。例如 [1,2,3,4,5,6,7,8][1,2,3,4,5,6,7,8] 二倍下采样后为 [1,3,5,7][1,3,5,7]。这让每层的系数数量大约减半，是 DWT 计算效率高、冗余低的重要原因。

十二、用 Haar 小波直观理解 DWT

Haar 小波最简单的分析滤波器为：

h=[12,12],g=[12,−12]h=\left[\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right],\qquad g=\left[\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\right]

忽略归一化后，可粗略看成低通 [1,1][1,1]、高通 [1,−1][1,-1]。对 x=[4,6,10,12]x=[4,6,10,12]，两组样本的和与差分别为：

A1=[10,22],D1=[−2,−2]A_1=[10,22],\qquad D_1=[-2,-2]

所以近似系数可理解为局部平均趋势，细节系数可理解为局部变化程度。这也解释了 DWT 细节系数对突变、冲击、边缘和高频噪声通常较敏感。

十三、母小波与滤波器的关系

DWT 的计算形式是低通、高通滤波与下采样，但母小波并未消失：高通滤波器 g[n]g[n] 对应小波函数 ψ(t)\psi(t)，低通滤波器 h[n]h[n] 对应尺度函数 ϕ(t)\phi(t)。选择 Haar、Daubechies、Symlet 或 Coiflet，实质上就是选择不同的滤波器系数和局部特征描述方式。

十四、CWT 和 DWT 的区别

对比CWTDWT
尺度与位置连续或密集采样规则的离散采样
输出时间—尺度二维系数矩阵各层近似与细节系数
冗余与计算量较高、较大较低、较小
典型用途时频分析、瞬态定位去噪、压缩、特征提取、多尺度分析

可简记为：CWT 关注“局部频率特征何时出现”，DWT 关注“信号在不同尺度和频带上分别有什么信息”。

十五、几个容易混淆的地方

CWT 中的“卷积”可先理解为相关匹配

小波变换与卷积关系紧密；建立直觉时，把它理解为信号与当前小波模板做内积、衡量局部相似程度通常更直接。

分辨率存在权衡

时间和频率之间存在类似 ΔtΔf≥C\Delta t\Delta f\ge C 的约束。小波的优势不是同时无限提高两种分辨率，而是让高频侧优先时间定位、低频侧优先频率辨别。

十六、一句话理解小波分析

傅里叶变换问“信号里有什么频率”；CWT 问“这些局部频率特征何时出现”；DWT 则把信号逐层拆成不同尺度上的近似信息和细节信息。

归根结底，小波分析使用具有时间局部性的基函数，从不同时间尺度观察同一个信号；这正是它与普通傅里叶分析的关键区别。

参考资料

希望能给您提供帮助
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