TOPSIS 逼近理想解排序法

Goat_Yang2026/1/30约 615 字大约 2 分钟

逼近理想解排序法 TOPSIS

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 是一种经典的多属性决策方法（MCDM）。

核心思想：

最优方案应当 最接近正理想解，且最远离负理想解

适用于：多方案、多指标的综合评价与排序问题。

X = (x_{ij})_{m \times n}

其中：

X = \begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & \cdots & x_{mn} \end{bmatrix}

对每一列指标：

r_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_{ij}^2}}

得到归一化矩阵 $R = (r_{ij})$ 。

设指标权重为 $w_j$ ，满足：

\sum_{j=1}^{n} w_j = 1

加权矩阵：

v_{ij} = w_j \cdot r_{ij}

得到 $V = (v_{ij})$ 。

对第 $j$ 个指标：

v_j^+ = \max_i v_{ij}, \quad v_j^- = \min_i v_{ij}

v_j^+ = \min_i v_{ij}, \quad v_j^- = \max_i v_{ij}

记：

A^+ = (v_1^+, \dots, v_n^+), \quad A^- = (v_1^-, \dots, v_n^-)

方案 $i$ 到正、负理想解的距离：

D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} (v_{ij} - v_j^+)^2}

D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} (v_{ij} - v_j^-)^2}

C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}

性质：

按 $C_i$ 从大到小排序，得到最终方案优劣顺序。

TOPSIS 实质是在比较：

谁更靠近“最好点”，同时远离“最坏点”