算法性能指标

多目标进化算法（MOEA）产生的结果是一个 Pareto非支配解集，
算法性能的优劣通常通过 收敛性（Convergence） 与 多样性（Diversity） 两个方面进行衡量。

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一、性能指标总体分类

多目标优化问题的评价指标主要分为以下几类：

类别	含义	常用指标	评价重点
① 收敛性指标	衡量算法解集到真实Pareto前沿的接近程度	GD、IGD、Epsilon指标	解的精确性
② 多样性指标	衡量解集在前沿上的分布均匀性与覆盖性	SP、Δ（Spread）、均匀性度量	解的均匀分布与边界覆盖
③ 综合性指标	同时反映收敛与分布性能	HV（超体积）、IGD（兼顾两者）	综合评价整体性能
④ 相对比较指标	比较两个算法间的优劣关系	C-Metric（覆盖率）、R2指标	算法间性能对比

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二、是否需要真实Pareto前沿分类

是否需要真实前沿	常用指标	特点
✅ 需要真实Pareto前沿	GD、IGD、Spread（Δ）	能准确度量逼近性，但需真实或近似前沿
❌ 不需要真实Pareto前沿	HV、SP、C-Metric	可用于未知真实前沿的实际优化问题

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三、指标数值趋势与意义

指标	数值趋势	表示算法性能
GD、IGD、SP、Δ	越小越好	解更接近真实前沿且更均匀
HV、C(A,B)	越大越好	覆盖更广、质量更高

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四、指标逻辑关系图

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五、主要指标数学原理与公式

以下为常用的MOEA性能指标的详细定义、数学表达式与解释。

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1️⃣ 世代距离（Generational Distance, GD）

指标含义：
衡量算法得到的非支配解集与真实Pareto前沿之间的平均距离，反映收敛性。

数学定义：

设：

• 真实Pareto前沿：$P^* = \{ y_1^*, y_2^*, ..., y_N^* \}$
• 算法解集：$P = \{ y_1, y_2, ..., y_M \}$

则每个解到真实前沿最近点的距离：

$$d_i = \min_{y^* \in P^*} \| y_i - y^* \|$$

整个解集的世代距离为：

$$GD = \frac{1}{M} \sqrt{ \sum_{i=1}^{M} d_i^2 }$$

解释：

• $GD = 0$ 表示算法解完全逼近真实前沿；
• 数值越小，收敛性越好。

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2️⃣ 反世代距离（Inverted Generational Distance, IGD）

指标含义：
衡量真实前沿上的点到算法解集的平均距离，兼顾收敛性与分布性。

数学定义：

设：

• $P^* = \{ y_1^*, y_2^*, ..., y_N^* \}$
• $P = \{ y_1, y_2, ..., y_M \}$

则：

$$d_i^* = \min_{y \in P} \| y - y_i^* \|$$

反世代距离定义为：

$$IGD = \frac{1}{N} \sqrt{ \sum_{i=1}^{N} (d_i^*)^2 }$$

解释：

• $IGD$ 越小，算法解越接近且覆盖真实前沿；
• 若真实前沿未知，可用参考点集代替。

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3️⃣ 超体积（Hypervolume, HV）

指标含义：
表示算法得到的解集在目标空间中所覆盖的体积大小，反映综合性能。

数学定义：

设：

• 算法解集：$P = \{ y_1, y_2, ..., y_M \}$
• 参考点（通常取各目标最大值稍大的点）：$r$

则：

$$HV(P) = \text{Volume}\left( \bigcup_{y \in P} [y_1, r_1] \times [y_2, r_2] \times \cdots \times [y_k, r_k] \right)$$

解释：

• HV越大说明算法的解集覆盖范围越广；
• 能同时体现收敛性与多样性；
• 缺点：高维计算复杂度高。

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4️⃣ 均匀性度量（Spacing, SP）

指标含义：
衡量算法所得解集在Pareto前沿上的分布均匀性。

数学定义：

设解集为 $P = \{ y_1, y_2, ..., y_M \}$，定义任意解到其最近邻解的距离为：

$$d_i = \min_{j \ne i} \sum_{k=1}^{m} | f_k(y_i) - f_k(y_j) |$$

则均匀性指标为：

$$SP = \sqrt{ \frac{1}{M-1} \sum_{i=1}^{M} (d_i - \bar{d})^2 }$$

其中：

$$\bar{d} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{M} d_i$$

解释：

• $SP = 0$ 表示完全均匀；
• 值越小表示解集分布更均匀；
• 仅反映多样性，不考虑收敛性。

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5️⃣ 扩展度量（Spread, Δ）

指标含义：
衡量解集在Pareto前沿的整体分布范围及端点覆盖情况。

数学定义：

$$\Delta = \frac{ d_f + d_l + \sum_{i=1}^{M-1} |d_i - \bar{d}| }{ d_f + d_l + (M-1)\bar{d} }$$

其中：

• $d_f, d_l$ 为解集端点与真实前沿端点的距离；
• $d_i$ 为相邻解间距离；
• $\bar{d}$ 为平均距离。

解释：

• $\Delta = 0$ 表示完美覆盖且均匀；
• 值越小说明分布越好；
• NSGA-II算法最早采用此指标。

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6️⃣ 覆盖率指标（Coverage Metric, C-Metric）

指标含义：
用于比较两个算法A和B的解集优劣。

数学定义：

设两算法解集为 $P_A, P_B$，定义：

$$C(A,B) = \frac{ |\{ y_B \in P_B \mid \exists y_A \in P_A, y_A \prec y_B \}| }{|P_B|}$$

其中“$y_A \prec y_B$”表示$y_A$支配$y_B$。

解释：

• $C(A,B)=1$：A完全优于B；
• $C(A,B)=0$：A完全劣于B；
• 通常与$C(B,A)$配合使用进行双向比较。

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六、综合对比总结

指标	主要评价维度	趋势	是否需真实前沿	特点
GD	收敛性	小	是	仅反映逼近性
IGD	收敛+分布	小	是	综合性强，常用
HV	收敛+分布	大	否	信息丰富但计算复杂
SP	分布均匀性	小	否	衡量多样性
Δ (Spread)	分布+覆盖	小	是	NSGA-II使用
C-Metric	相对优劣	大	否	比较不同算法性能

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七、总结建议

• 若关注收敛性：使用 GD 或 IGD；
• 若关注分布均匀性：使用 SP 或 Δ；
• 若需综合评估：使用 HV；
• 若比较不同算法：使用 C-Metric；
• 实验研究中常采用多指标联合评价（如 IGD + HV）。

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✅ 参考建议：
在学术论文或算法比较中，常以
$IGD,\ HV,\ \text{and}\ SP$
作为主评价体系，辅以 C-Metric 辅助比较。

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